1) An арифметическая прогрессия. S5=40, S10=120, найдите а1 2) An арифметическая прогрессия а8=2, найдите а3+a5+а11+а13 3) Аn арифметическая прогрессия, заданная формулой аn=220-5n, Sn=0, найдите n 4) An арифметическая прогрессия, а6^2-а2^2=480, а4=20. найдите а6 5) Аn арифметическая прогрессия, а2+a4+а6=15, а2*a4*a6=-55. найдите а1

1) Подставим значения n = 5 и n = 10 в формулу n-ного члена прогрессии.

S₅ = (a₁ + a₅) / 2 * 5 = 40.

S₁₀ = (a₁ + a₁₀) / 2 * 5 = 120.

Из этих равенств следует:

a₁ + a₅ = 16;

a₁ + a₁₀ = 48.

Подставим значения пятого и десятого членов прогрессии, выраженные через d.

a₅ = a₁ + 4d;

a₁₀ = a₁ + 9d.

a₁ + a₁ + 4d = 16;

a₁ + a₁ + 9d = 78.

Из первого равенства выразим 2a₁ = 16 - 4d и подставим его во второе равенство и решим полученное уравнение.

16 - 4d + 9d = 78.

5d = 78 - 16.

d = 62 : 5 = 12,4.

Найдём значение a₁ = (16 - 4 * 12,4) : 2 = - 16,8.

Ответ: a₁ = - 16,8

2) Подставим в искомую сумму значения всех членов прогрессии, выраженные через её восьмой член.

а₃ = а₈ - 5d;

а₅ = а₈ - 3d;

а₁₁ = а₈ + 3d;

а₁₃ = а₈ + 5d.

а₈ - 5d + а₈ - 3d + а₈ + 3d + а₈ + 5d = 4 * а₈ = 4 * 2 = 16.

Ответ: а₃ + a₅ + а₁₁ + а₁₃ = 16.

3) Подставим значение а_n = 220 - 5n и а₁ = 220 - 5 = 215 в формулу суммы n членов и найдём значение n.

S_n = (215 + 220 - 5n) / 2 * n = 0.

(435 - 5n) n = 0 при 435 - 5n = 0.

n = 435 : 5 = 87.

Ответ: n = 87.

4) Разложим разность квадратов на множители.

а₆^2 - а₂^2 = (а₆ - а₂) (а₆ + а₂) = 480,

Выразим шестой и второй члены прогрессии через четвёртый член и d.

а₆ = 20 + 2d;

а₂ = 20 - 2d.

Подставим их в полученное равенство и решим полученное уравнение относительно d.

(20 + 2d - 20 + 2d) (20 - 2d + 20 + 2d) = 480.

4d * 40 = 480.

d = 3.

Найдём значение а₆ = 20 + 2 * 3 = 20 + 6 = 26.

Ответ: а₆ = 26.

5) Выразим второй, четвёртый и шестой члены прогрессии через значение первого члена и разность.

а₂ = а₁ + d;

а₄ = а₁ + 3d;

а₆ = а₁ + 5d.

Подставим выражения в систему уравнений.

а₁ + d + а₁ + 3d + а₁ + 5d = 15;

3 а₁ + 9d = 15.

а₁ + 3d = 5.

а₁ = 5 - 3d.

(5 - 3d + d) * 5 * (5 - 3d + 5d) = - 55.

(5 - 2d) (5 + 2d) = - 11.

25 - 4d² = - 11

25 + 11 = 4d²

36 : 4 = d²

d = + / - 3

Найдём значение а₁ = 5 - 3 * 3 = 5 - 9 = - 4 (при d = 3).

а₁ = 5 - 3 * ( - 3) = 5 + 9 = 14 (при d = - 3).

Ответ: первый член арифметической прогрессии может иметь два значения а₁ = - 4 и а₁ = 14.