Найдите наименьшее значения произведения (1+x/y) (1+y/z) (1+z/x) для положительных значений переменных.

Найдите наименьшее значения произведения (1+x/y) (1+y/z) (1+z/x) для положительных значений переменных.

Решение:

Каждый множитель представим в качестве неравенства:

1-2√ (x/y) + x/y≥0

1-2√ (y/z) + y/z≥0

1-2√ (z/x) + z/x≥0

Далее переместим отрицательные переменные вправо:

1+x/y≥2√ (x/y)

1+y/z≥2√ (y/z)

1+z/x≥2√ (z/x)

Теперь необходимо перемножить имеющиеся неравенства:

(1+x/y) (1+y/z) (1+z/x) ≥2√ (x/y) * 2√ (y/z) * 2√ (z/x)

(1+x/y) (1+y/z) (1+z/x) ≥8√ ((xyz) / (xyz))

Сокращаем дробь в правой части и получаем конечное неравенство:

(1+x/y) (1+y/z) (1+z/x) ≥8

Таким образом наименьшее значение произведения 8.

Ответ: 8