Чему равна сумма всех чётных натуральных чисел от 2 до 102 включительно?

Для решения данной задачи воспользуемся понятием арифметической прогрессии. Для этого:

покажем, что последовательность четных натуральных чисел от 2 до 102 включительно представляет собой арифметическую прогрессию; найдем количество членов данной арифметической прогрессии; используя формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии, найдем сумму данных чисел.

Решение задачи.

Покажем, что четные чисел от 2 до 102 образуют арифметическую прогрессию

Согласно определению арифметической прогрессии, каждый член арифметической прогрессии является суммой предыдущего члена этой прогрессии и некоторого постоянного для всей прогрессии числа d, называемого разностью арифметической прогрессии.

Каждое число в последовательности четных натуральных чисел от 2 до 102 включительно, начиная со второго, больше предыдущего числа на 2.

Следовательно, последовательность четных натуральных чисел от 2 до 102 включительно образует арифметическую прогрессию an с первым членом a1, равным 2 и разностью d, равной 2.

Находим количество членов данной арифметической прогрессии

Число 102 является последним членом данной прогрессии.

Пусть n - это номер данного члена арифметической прогрессии.

Подставляя в формулу n-го члена арифметической прогрессии аn = a1 + (n - 1) * d значения а1 = 2, d = 2 и an = 102, получаем следующее соотношение:

102 = 2 + (n - 1) * 2.

Решаем данное уравнение и находим номер n последнего члена данной прогрессии:

102 - 2 = (n - 1) * 2;

100 = (n - 1) * 2;

n - 1 = 100 / 2;

n - 1 = 50;

n = 50 + 1;

n = 51.

Следовательно номер последнего члена данной прогрессии равен 51 и количество членов в данной последовательности равно 51.

Находим сумму данных чисел

Подставляя в формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии Sn = (2 * a1 + d * (n - 1)) * n / 2 значения а1 = 2, d = 2, n = 51, находим сумму всех чётных натуральных чисел от 2 до 102 включительно

S51 = (2 * 2 + 2 * (51 - 1)) * 51 / 2 = (4 + 2 * 50) * 51 / 2 = (4 + 100) * 51 / 2 = 104 * 51 / 2 51 * 104 / 2 = 51 * 52 = 2652.

Ответ: сумма всех чётных натуральных чисел от 2 до 102 включительно равна 2652.

Сумма всех чётных натуральных чисел от 2 до 102 включительно представляет собой сумму первых 51 членов арифметической прогрессии с первым членом а1, равным 2 и разностью d, равной 2.

Для нахождения данной суммы воспользуемся формулой суммы первых n членов арифметической прогрессии Sn = (2 * a1 + d * (n - 1)) * n / 2 при n = 51:

S51 = (2 * a1 + d * (51 - 1)) * 51 / 2 = (2 * a1 + d * 50) * 51 / 2 = 2 * (a1 + d * 25) * 51 / 2 = (a1 + d * 25) * 51 = (2 + 2 * 25) * 51 = (2 + 50) * 51 = 52 * 51 = 2652.

Ответ: данная сумма равна 2652.