Выразить через p и q разность кубов корней уравнения x^2+px+q=0

Для решения используем формулы теоремы Виета для корней квадратного уравнения х1 и х2, формулы которой следующие: x1 + x2 = - p, x1 * x2 = q.

Искомая разность кубов корней равна : x1 ^ 3 - x2 ^ 3 = (x1 - x2) * (x1 ^ 2 + x1 * x2 + x2 ^ 2).

Теперь нужно выразить содержимые скобок через p и q.

x1 ^ 2 + x1 * x2 + x2 ^ 2 = (x1 ^ 2 + 2 * x1 * x2 + x2 ^ 2) - x1 * x2 = (x1 + x2) ^ 2 - x1 * x2 = ( - p) ^ 2 - q = p ^ 2 - q,

x1 ^ 2 + x2 ^ 2 = (x1 + x2) ^ 2 - 2 * x1 * x2 = p ^ 2 - 2 * q.

(x1 - x2) = √ [ (x1 - x2) ^ 2] = √ [x1 ^ 2 - 2 * x1 * x2 + x2 ^ 2] = √ [p ^ 2 - 2 * q - 2 * q] = √ [p ^ 2 - 4 * q].

Теперь подставляем полученные выражения скобок в результат:

(x1 - x2) * (x1 ^ 2 + x1 * x2 + x2 ^ 2) = √ х (p ^ 2 - 4 * q) ъ * (p ^ 2 - 2 * q).