Решите неравенство: x^4-2x^3+x^2 деленное на x^2+x-2. вычесть 2x^3+x^2+x-1 деленное на x+2 и все это меньше или равно 1

(x^4 - 2x^3 + x^2) / (x^2 + x - 2) - (2x^3 + x^2 + x - 1) / (x + 2) < = 1.

Вынесем x^2 в числителе первой дроби:

x^2 (x^2 - 2 х + 1) / (x^2 + x - 2) - (2x^3 + x^2 + x - 1) / (x + 2) < = 1.

Разложим на множители x^2 - 2 х + 1: по теореме Виета х₁ + х₂ = 2; х₁ * х₂ = 1. Корни равны 1 и 1. Получается x^2 - 2 х + 1 = (х - 1) ^2.

Разложим на множители x^2 + x - 2: по теореме Виета х₁ + х₂ = - 1; х₁ * х₂ = - 2. Корни равны - 2 и 1. Получается x^2 + x - 2 = (х - 1) (х + 2).

Неравенство приобретает вид x^2 (х - 1) ^2 / (х - 1) (х + 2) - (2x^3 + x^2 + x - 1) / (x + 2) < = 1.

Скобка (х - 1) сокращается, получается x^2 (х - 1) / (х + 2) - (2x^3 + x^2 + x - 1) / (x + 2) < = 1.

Приводим к общему знаменателю: (x^2 (х - 1) - (2x^3 + x^2 + x - 1)) / (x + 2) < = 1;

(x^3 - х^2 - 2x^3 - x^2 - x + 1) / (x + 2) < = 1;

(-x^3 - 2 х^2 - x + 1) / (x + 2) < = 1.

Переносим 1 в левую часть и приводим к общему знаменателю:

(-x^3 - 2 х^2 - x + 1) / (x + 2) - 1 < = 0;

(-x^3 - 2 х^2 - x + 1 - х - 2) / (x + 2) < = 0;

(-x^3 - 2 х^2 - 2x - 1) / (x + 2) < = 0.

Вынесем (-1) из числителя и умножим неравенство на (-1):

- (x^3 + 2 х^2 + 2x + 1) / (x + 2) < = 0;

(x^3 + 2 х^2 + 2x + 1) / (x + 2) > = 0.

Разложим знаменатель на множители:

x^3 + 2 х^2 + 2x + 1 = (x^3 + 1) + (2 х^2 + 2x) = (х + 1) (х^2 - х + 1) + 2 х (х + 1) = (х + 1) (х^2 - х + 1 + 2 х) = (х + 1) (х^2 + х + 1).

Получается неравенство (х + 1) (х^2 + х + 1) / (x + 2) > = 0.

Решим неравенство методом интервалов:

Найдем корни неравенства:

х + 1 = 0; х = - 1.

х^2 + х + 1 = 0; D = 1 - 4 = - 3 (нет корней).

х + 2 = 0; х = - 2.

Расставляем знаки неравенства: (+) - 2 (-) - 1 (+).

Так как неравенство имеет знак > = 0, то решением неравенства будут промежутки (-∞; - 2] и [-1; + ∞).