Найдите целую часть числа (√ (n) + √ (n+1)) ^2, где n-натуральное число.

Возведём выражение в квадрат:

[√ (n) + √ (n + 1) ]^2 = [√ (n) ]^2 + 2 * √ (n) * √ (n+1) + [√ (n + 1) ]^2 = n + 2 * √ (n) * √ (n+1) + (n + 1) =

2 * n + 1 + 2 * √ (n) * √ (n+1). (1)

Для нахождения целой части всего выражения, нужно выделить целую часть из выражения с корнем. Для этого используем, неравенство по которому: n < √ (n) * (n+1) < n + 1, умножив на 2, получим:

2 * n < 2 * √ (n) * (n+1) < 2 * (n + 1).

Согласно этому неравенству целая часть 2 * √ (n) * (n+1) равна 2 * n, так как меньше 2 * n + 1.

Подставив полученное выражение в (1), получим целую часть:

2 * n + 1 + 2 * n = 4 * n + 1.