Сумма цифр двузначного числа равна 9. Сумма квадратов этих же цифр равна 41. Если от искомого числа отнять 9, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите это число

1. Рассмотрим двузначное число x с цифрами a и b:

x = ab = 10 + b.

2. Сумма цифр числа x равна 9:

a + b = 9, (1)

а сумма их квадратов - 41:

a^2 + b^2 = 41. (2)

3. Решим систему уравнений (1) и (2), выделив квадрат двучлена:

{a + b = 9;

{a^2 + b^2 = 41; {a + b = 9;

{ (a + b) ^2 - 2ab = 41; {a + b = 9;

{9^2 - 2ab = 41; {a + b = 9;

{81 - 2ab = 41; {a + b = 9;

{2ab = 40; {a + b = 9;

{ab = 20.

4. По обратной теореме Виета, числа a и b являются корнями приведенного квадратного уравнения:

p^2 - 9p + 20 = 0; D = 9^2 - 4 * 20 = 81 - 80 = 1; p = (9 ± √1) / 2 = (9 ± 1) / 2; p1 = (9 - 1) / 2 = 8/2 = 4; p2 = (9 + 1) / 2 = 10/2 = 5. a) x = 45; b) x = 54.

5. Третье условие задачи:

x = ab; y = ba; x - 9 = y.

a) x = 45; y = 54;

x - y = 45 - 54 = - 9;

b) x = 54; y = 45;

x - y = 54 - 45 = 9.

Ответ: 54.