Докажите что следующее утверждение верно для любого натурального значения n (2^n+2^n+1+2^n+2) кратное 7

Рассмотрим сумму степеней 2ⁿ + 2^{n + 1} + 2^{n + 2}.

Правило умножение степеней с одинаковым основанием:

xn * xm = x^{n + m}.

Основание остается тем же, показатели складываются.

По этому правилу:

2^{n + 1} = 2n * 21 = 2n * 2.

2^{n + 2} = 2n * 22 = 2n * 4.

2n + 2 * 2ⁿ + 4 * 2n = 1 * 2n + 2 * 2n + 4 * 2n.

Вынесем за скобку общий множитель 2n.

2n * (1 + 2 + 4) = 2n * 7 = 7 * 2n.

7 * 2n : 7 = 2n - целое число, при любом натуральном n, значит, выражение 2n + 2^{n + 1} + 2^{n + 2} кратно числу 7. Что и требовалось доказать.