Найдите значения х: 5cos²x+4cos (2π-x) + sin²x=0

Прежде чем найти корни уравнения упростим выражение 5cos²x + 4cos (2π - x) + sin²x:

Сначала для cos (2π - x) применим формулу приведения (cos (2π - x) = cosx), а sin²x запишем как 1 - cos²x.

Итак: 5cos²x + 4cos (2π - x) + sin²x = 5cos²x - 4cosx + (1 - cos²x) = 4cos²x - 4cosx + 1.

В результате получилось: 4cos²x - 4cosx + 1 = 0, с если сократим все члены на 4, то получим следующее уравнение: cos²x - cosx + 0,25 = 0.

Введем новую переменную cosх = а и получим обыкновенное квадратное уравнение:

а² - а + 0,25 = 0. Найдем его корни, D = 1 - 4 * 1 * 0,25 = 1 - 1 = 0 → а = 1/2 = 0,5.

Значить cosx = 0,5 → x = ±π/3 + 2πk, k∈Z.

Ответ: ±π/3 + 2πk, k∈Z.