Решите уравнение 3sin²x+4sinxcocx+5cos²x=2

1. Число 2 представим в виде удвоенной суммы квадратов sinx и cosx:

3sin^2 (x) + 4sinx * cosx + 5cos^2 (x) = 2;

3sin^2 (x) + 4sinx * cosx + 5cos^2 (x) = 2sin^2 (x) + 2cos^2 (x).

2. Приведем подобные члены:

3sin^2 (x) + 4sinx * cosx + 5cos^2 (x) - 2sin^2 (x) - 2cos^2 (x) = 0;

sin^2 (x) + 4sinx * cosx + 3cos^2 (x) = 0.

3. Разделим обе части уравнения на cos^2 (x):

tg^2 (x) + 4tgx + 3 = 0.

4. Решим квадратное уравнение относительно tgx:

D/4 = (b/2) ^2 - ac = 2^2 - 1 * 3 = 1;

tgx = (-b/2 ± √ (D/4)) / a = - 2 ± 1.

1) tgx = - 2 - 1 = - 3;

x = - arctg3 + πk, k ∈ Z.

2) tgx = - 2 + 1 = - 1;

x = - π/4 + πk, k ∈ Z.

Ответ: - arctg3 + πk; - π/4 + πk, k ∈ Z.