Можно ли числа от 1 до 2014 разбить на несколько групп, в каждой из которых есть число, равное сумме остальных чисел этой группы?

Вычислим сумму всех чисел от 1 до 2014 по формуле арифметической прогрессии:

S = (1 + 2014) * 2014 / 2 = 2015 * 1007 = 2029105.

Сумма всех чисел от 1 до 2014 нечетное число.

Если предположить, что такое разбиение возможно, то тогда можно было бы выделить два множества:

все числа, равные суммам остальных чисел в своих группах; все остальные числа.

Суммы чисел этих двух множеств были бы равны.

Сумма двух одинаковых чисел всегда четное число. Но выше мы уже показали, что сумма всех чисел от 1 до 2014 нечетное число. Следовательно, числа от 1 до 2014 нельзя разбить на группы так, чтобы в каждой из этих групп было число, равное сумме всех остальных чисел в группе.