1) 12sin2x+sinx+cosx+6=0 2) 5-7sinX=3 cos^2X 3) cos5X+cos7X = cos (П+6X) 4) 3sin2X=4 (sinX+cosX+1)

1) Преобразуем:

36 (2 sin 2 x + 1) ² = ( - sin x - cos x) ²;

144 sin ² 2 x + 144 sin 2 x + 36 =

(sin ² x + cos ² x) + 2 sin x cos x;

144 sin ² 2 x + 142 sin 2 x + 35 = 0.

Решаем квадратное уравнение:

sin 2 x = ( - 71 ± √ (5041 - 5040)) / 144 = ( - 71 ± 1) / 144;

a) sin 2 x = - 35/72;

x₁ = ( - arcsin 35/72 + 2 pi k) / 2;

x₂ = (arcsin 35/72 + pi + 2 pi k) / 2;

b) sin 2 x = - 1/2;

x₃ = (-arcsin 1/2 + 2 pi k) / 2 = - pi/12 + pi k;

x₄ = pi/12+pi/2 + pi k.

2) Преобразуем:

5 - 7 sin x = 3 (1 - sin ² x);

3 sin ² x - 7 sin x + 2 = 0.

Решаем квадратное уравнение:

sin x = (7 ± 5) / 6);

sin x = 2 > 1 - нет действительных решений.

sin x = 1/3:

x₁ = arcsin 1/3 + 2 pi k;

x₂ = pi - arcsin 1/3 + 2 pi k.

3) Преобразуем по формуле сумма косинусов:

cos 5 x + cos 7 x = cos (П + 6 x);

cos 6 x cos - x = cos (П + 6 x) = - cos 6 x;

cos 6 x (cos x + 1) = 0;

a) cos 6 x = 0; 6 x = pi/2 + pi k;

x₁ = pi/12 + pi/6 k;

b) cos x = - 1;

x₂ = pi + 2 pi k.

4) Преобразуем:

(3 sin 2 x - 4) ² = 16 (sin x + cos x) ²;

9 sin ² 2 x - 24 sin 2 x + 16 =

16 (sin ² x + cos ² x) + 16 (2 sin x cos x);

9 sin ² 2 x - 40 sin 2 x = 0;

sin 2 x (9 sin 2 x - 40) = 0;

sin 2 x = 40/9 > 1 - действительных решений нет.

sin 2 x = 0;

x = pi/2 k.