3tg (pi*x) + 5ctg (pi*x) + 8=0

Домножим уравнение на tg (πx):

3tg^2 (πx) + 5ctg (πx) * tg (πx) + 8 * tg (πx) = 0;

3tg^2 (πx) + 8tg (πx) + 5 = 0.

Произведем замену переменных t = tg (πx):

3t^2 + 8t + 5 = 0;

t12 = (-8 + - √ (64 - 4 * 3 * 5)) / 2 * 3 = (-8 + - 2) / 6;

t1 = (-8 - 2) / 6 = - 5/3; t2 = - 1.

Производим обратную замену:

tg (πx) = - 5/3;

πx = arctg (-5/3) + - π * n, где n натуральное число;

x = 1/π * arctg (-5/3) + - n.

tg (πx) = atrctg (-1) + - π * n;

πx = 5π/4 + - π * n;

x = 5/4 + - n.

Ответ: x принадлежит {1/π * arctg (-5/3) + - n; 5/4 + - n}.