Почему если все углы треугольника равны, то и стороны равны?

Докажем, что если в треугольнике АВС углы А, В и С равны, то и стороны данного треугольника также равны.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся теоремой синусов.

Согласно данное теореме для сторон АВ и ВС и углов С и А выполняется следующее равениство:

|АВ| / sin (C) = |ВС| / sin (A).

Согласно условию задачи, ∠С = ∠А, следовательно, sin (C) = sin (A) и:

|АВ| = sin (C) * |ВС| / sin (A) = |ВС| * (sin (C) / sin (A)) = |ВС|.

Также по теореме синусов:

|АС| / sin (В) = |ВС| / sin (A).

Согласно условию задачи, ∠В = ∠А, следовательно, sin (В) = sin (A) и:

|АС| = sin (В) * |ВС| / sin (A) = |ВС| * (sin (В) / sin (A)) = |ВС|.

Следовательно, в данном треугольнике |АВ| = |ВС| = |АС|.