Точки С (1; - 1,5; 3) и D (-1; 2,5; - 3) лежат на сфере. Центры сферы принадлежат отрезку СD. а) Запишите уравнение сферыб) Принадлежат ли сфере точки с координатами (3; - 1,5; √7) и (1; 2,5; 3)

Как известно, каноническим уравнение сферы с центром в точке О (x₀; y₀; z₀) и радиуса R имеет вид (х - x₀) ² + (у - у₀) ² + (z - z₀) ² = R². Поскольку точки С (1; - 1,5; 3) и D (-1; 2,5; - 3) лежат на сфере и центр сферы принадлежат отрезку СD, то можно утверждать, что отрезок СD является диаметром сферы и центр сферы находится на середине отрезка СD. Для того, чтобы найти длину диаметра, воспользуемся формулой вычисления расстояния между двумя точками A (x_a; y_a; z_a) и B (x_b; y_b; z_b) : АВ = √[ (x_b - x_a) ² + (y_b - y_a) ² + (z_b - z_a) ²]. Имеем СD = √[ (-1 - 1) ² + (2,5 - (-1,5)) ² + (-3 - 3) ²] = √ (2² + 4² + 6²) = √ (4 + 16 + 36) = √ (56) = 2√ (14). Значит, R = СD : 2 = 2√ (14) : 2 = √ (14). Теперь определим координаты центра сферы О (x₀; y₀; z₀). Имеем x₀ = (x_c + x_d) : 2 = (1 + (-1)) : 2 = 0 : 2 = 0; y₀ = (y_c + y_d) : 2 = (-1,5 + 2,5) : 2 = 1 : 2 = 0,5; z₀ = (z_c + z_d) : 2 = (3 + (-3)) : 2 = 0 : 2 = 0. Таким, образом, искомое уравнение имеет вид: (х - 0) ² + (у - 0,5) ² + (z - 0) ² = 14 или х² + (у - 0,5) ² + z² = 14. Проверим принадлежность к сфере точек с координатами (3; - 1,5; √ (7)) и (1; 2,5; 3). Имеем 3² + (-1,5 - 0,5) ² + (√ (7)) ² = 9 + 16 + 7 = 32 ≠ 14, следовательно, точка с координатами (3; - 1,5; √ (7)) не принадлежит к сфере. Аналогично, имеем 1² + (2,5 - 0,5) ² + 3² = 1 + 4 + 9 = 14, следовательно, точка с координатами (1; 2,5; 3) принадлежит к сфере.

Ответы: х² + (у - 0,5) ² + z² = 14; точка с координатами (3; - 1,5; √ (7)) не принадлежит к сфере; точка с координатами (1; 2,5; 3) принадлежит к сфере.