1. Дано комплексное число z. Требуется: 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 1) алгебраическая форма z=x+iy тригонометрическая z=r (cosφ+isinφ) 2) в тригонометрической форме возвести число z в квадрат и найти все корни уравнения u^5=z^2, т. е. извлечь 5 корней z = 4/1-i

1) Произвольное комплексное число z в алгебраической форме записывается в виде:

z = a + bi.

Оно же в тригонометрической форме имеет вид:

z = r * (cosα + i * sinα), где r = √ (a² + b²); α = arctg (b/a).

2) z = 1 - i, здесь a = 1; b = - 1; r = √ (1² + (-1) ²) = √2; α = arctg (-1/1) = - π/4.

z = √2 * (cos (-π/4) + i * sin (-π/4)).

2) Дано число z = 2√2 / (1 - i). Сначала представим z в обычном алгебраической форме:

Для этого умножим числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное числа 1 - i.

z = (2√2 * (1 + i)) / ((1 + i) * (1 - i)) = (2√2 * (1 + i)) / (1 - i²)) = (2√2 * (1 + i)) / 2 = √2 + √2i.

Теперь переведем его в тригонометрическую форму.

Z = √2 + √2i = 2 (√2/2 + √2i/2) = 2 (cos (-π/4) - i * sin (-π/4)). r = √ ((√2) ² + (√2) ²) = 2.

Теперь используем формулу Муавра для степени и корня комплексного числа:

zⁿ = rⁿ * (cos (n * α) + i*sin (n * α)).

z² = 2² * (cos (2 * α) + i * sin (2 * α)) = 4 (cos2α + i sin2α).