Можно ли придумать четыре таких целых числа, сумма и произведение которых нечётные

Числа бывают четные и нечетные.

Пусть существует четыре таких числа, сумма и произведение которых нечетны.

Произведение четного числа на любое другое всегда будет четным числом.

Значит, среди наших четырех чисел не существует четного, поскольку произведение этих же чисел давало бы четное число.

Значит, все четыре числа непарные.

Сумма двух непарных чисел - четное число.

Сумму четырех чисел можно разбить на сумму двух по два числа. Каждый результат четный, а значит вся сумма четна.

Ответ: нет.