Наташа купила тетради и ручки на сумму 214 рублей. Стоимость одной тетради 13 рублей, а ручки-10 рублей. Каких принадлежностей Наташа купила больше и на сколько?

Пусть Наташа купила X тетрадей и Y ручек. Тогда справедливо уравнение:

13X + 10Y = 214, причем, X и Y - целые.

Выразим Y через X:

10Y = 214 - 13 Х, следовательно, Y = (214 - 13X) / 10.

Так как Y целое, то 214 - 13X делится на 10 без остатка.

По признаку делимости на 10, число 214 - 13X заканчивается на ноль, следовательно, 13X заканчивается на 4. Единственной цифрой, которая при умножении на 3 дает число, заканчивающееся на 4, является 8 (3 * 8 = 24), следовательно, X заканчивается на 8 и равно 8 или 18 или 28 и т. д. Проверим указанные числа:

Y = (214 - 13 * 8) / 10 = (214 - 104) / 10 = 110 / 10 = 11, подходит.

Y = (214 - 13 * 18) / 10 = (214 - 234) / 10 = - 20 / 10 < 0, не подходит. Остальные числа проверять смысла нет, так как их произведение с 13 заведомо больше 214.

Таким образом, Х = 8, значит, было приобретено 8 тетрадей и 11 ручек. Следовательно, ручек было приобретено больше на 11 - 8 = 3 штуки.