2^x+16*2^-x больше или равно 17

1. Степень 2^x положительна при любом значении переменной, следовательно, можно умножить неравенство на нее:

2^x + 16 * 2^ (-x) ≥ 17; (2^x) ^2 + 16 ≥ 17 * 2^x; (2^x) ^2 - 17 * 2^x + 16 ≥ 0.

2. Введем новую переменную и решим неравенство:

2^x = u; u^2 - 17u + 16 ≥ 0; D = 17^2 - 4 * 16 = 289 - 64 = 225; u = (17 ± √225) / 2 = (17 ± 15) / 2; u1 = (17 - 15) / 2 = 2/2 = 1; u2 = (17 + 15) / 2 = 32/2 = 16; u ∈ (-∞; 1] ∪ [16; ∞).

3. Обратная замена:

[u ≤ 1;

[u ≥ 16; [2^x ≤ 1;

[2^x ≥ 16; [2^x ≤ 2^0;

[2^x ≥ 2^4; [x ≤ 0;

[x ≥ 4; x ∈ (-∞; 0] ∪ [4; ∞).

Ответ: (-∞; 0] ∪ [4; ∞).