Вдоль прямой дороги стоят шесть домов. Где надо вырыть колодец, чтобы сумма расстояний от него до домов была наименьшей? Вдоль прямой дороги стоят шесть домов. Где надо вырыть колодец, чтобы сумма расстояний от него до домов была наименьшей?

1. Пусть дома вдоль дороги имеют координаты:

x1 < x2 < x3 < x4 < x5 < x6.

А колодец находится в точке x.

И пусть:

x2 - x1 = s1; x3 - x2 = s2; x4 - x3 = s3; x5 - x4 = s4; x6 - x5 = s5.

2. Тогда сумма расстояний от колодца до домов составит:

S = |x - x1| + |x - x2| + |x - x3| + |x - x4| + |x - x5| + |x - x6|.

3. Необходимо найти значения x, при которых эта сумма принимает наименьшее значение. Рассмотрим несколько случаев:

1) x ∈ [x3; x4];

S = (s1 + s2 + s3 + s4 + s5) + (s2 + s3 + s4) + s3 = s1 + s5 + 2 (s2 + s4) + 3s3;

2) x ∈ [x4; x5];

S = (s1 + s2 + s3 + s4 + s5) + (s2 + s3 + s4) + s3 + 2|x - x4| = s1 + s5 + 2 (s2 + s4) + 3s3 + 2|x - x4|.

Как видно из этих двух случаев, наименьшее значение S получим в том случае, когда по обе стороны колодца находятся одинаковое число домов.