Докажите что при любом натуральном n выражение: (5n+1) ^2 - (5n-1) ^2 кратно 20

Для того, чтобы доказать, что выражение (5n + 1) ² - (5n - 1) ² кратно 20 мы начнем с того, что применим в нему две формулы сокращенного умножения:

(n + m) ² = n² + 2nm + m²;

(n - m) ² = n² - 2nm + m².

А так же правило открытия скобок перед которой стоит минус.

Итак, откроем скобки и получим выражение:

(5n + 1) ² - (5n - 1) ² = 25n² + 10n + 1 - (25n² - 10n + 1) = 25n² + 10n + 1 - 25n² + 10n - 1;

Приведем подобные в полученном выражении:

25n² + 10n + 1 - 25n² + 10n - 1 = 25n² - 25n² + 10n + 10n + 1 - 1 = 20n.

Выражение делится на 20.

Что и требовалось доказать.