представьте бесконечную десятичную периодическую дробь в виде обыкновенной дроби 1) 0,1777 2) 1,4 (12) Найдите сумму бесконечной геометрической прогресси (bn), если 1) b2=54, b5=2 2) b2-b4=48, b1-b3=240

Question

Алиса Горбачева

Математика

22 августа, 06:08

представьте бесконечную десятичную периодическую дробь в виде обыкновенной дроби 1) 0,1777 2) 1,4 (12) Найдите сумму бесконечной геометрической прогресси (bn), если 1) b2=54, b5=2 2) b2-b4=48, b1-b3=240

+4

Ответы (1)

Знаешь ответ на этот вопрос?

Алексей Худяков · Answer 1

1)

0,1 (7) = 0,1 + 7/100 + 7/1000 + ...

Сумма 7/100 + 7/1000 ... есть геометрическая прогрессия.

q = (7/1000) / (7/100) = 1/10.

|q| < 0. - бесконечно убывающая прогрессия.

S = b1 / (1 - q) = (7/100) / (1 - 1/10) = (7/100) * (10/9) = 7/90.

0,1 (7) = 0,1 + 7/90 = 1/10 + 7/90 = 16/90 = 8/45.

2)

1,4 (12) = 1,4 + 12/1000 + 12/100000 + ...+

Сумма 12/1000 + 12/100000 + ... + есть геометрическая прогрессия.

q = (12/100000) / (12/1000) = 1/100.

|q| < 0. - бесконечно убывающая прогрессия.

S = b₁ / (1 - q) = (12/1000) / (1 - 1/100) = (12/1000) * (100/99) = 12/990.

1,4 (12) = 1,4 + 12/990 = 1398/990 = 1 (408/990) = 1 (68/165).

3)

b₂ = b1 * q = 54.

b₅ = b¹ * q4 = 2.

Решим систему уравнений.

q³ = 2 / 54 = 1/27.

q = 1/3.

b₁ = b₂ / q = 54 / (1/3) = 162.

Тогда S = b₁ / (1 - q) = 162 / (2/3) = 243.

Ответ: Сумма равна 243.

4)

b₂ - b₄ = 48.

b₁ * q - b₃ * q = 48.

Q * (b1 - b3) = 48.

По условию, b₁ - b₃ = 240, тогда: q * 240 = 48.

q = 48 / 240 = 1/5.

b₁ - b₃ = b1 - b1 * q² = 240.

b₁ = 240 / (1 - q) = 240 / (24/25) = 250.

Тогда S = b₁ / (1 - q) = 250 / (4/5) = 312,5.

Ответ: Сумма равна 312,5.