Докажите, что выражение 64^3-8^5-4^7 кратно 13

Упрости заданное выражение:

64 = 2⁶, значит 64³ = (2⁶) ³ = 2^6*3 = 2¹⁸;

8 = 2³, значит 8⁵ = (2³) ⁵ = 2^3*5 = 2¹⁵;

4 = 2², значит 4⁷ = (2²) ⁷ = 2^2*7 = 2¹⁴.

Таким образом,

64³ - 8⁵ - 4⁷ = 2¹⁸ - 2¹⁵ - 2¹⁴ = 2¹⁴⁺⁴ - 2¹⁴⁺¹ - 2¹⁴ = 2¹⁴ * 2⁴ - 2¹⁴ * 2¹ - 2¹⁴.

Выносим за скобки общий множитель, получаем:

2¹⁴ * 2⁴ - 2¹⁴ * 2¹ - 2¹⁴ = 2¹⁴ * (2⁴ - 2 - 1) = 2¹⁴ * (16 - 2 - 1) = 2¹⁴ * 13.

Поскольку полученное в результате преобразований выражение можно разделить на 13 без остатка, очевидно, что заданное по условию выражение 64³ - 8⁵ - 4⁷ кратно 13.