Вместо звездочек поставте такие цифры, чтобы четерёх значное число * 74*делилось на 18. Найдите все решения.

Число делится на 18, значит оно делится на 2 и 9. Применим признаки делимости на эти числа.

Возьмем наименьшее четное число и вместо * подставим - * 740. Осталось определить первую цифру. Найдем сумму известных цифр 7+4+0=11. Ближайшее число, которое делится на 9 - это 18. Находим разность 18 - 11=7. Значит, первая цифра - 7. 7740/18=430.

Аналогичным образом найдем другие числа:

*742, 7+4+2=13, 18-13=5, 5742

*744, 7+4+4=15, 18-15=3, 3744

*746, 7+4+6=17, 18-17=1, 1746

*748, 7+4+8=19, 27-19=8, 8748

В этой задаче вам надо найти все четырехзначные числа вида * 74*, которые делятся на 18.

Признак делимости на 18

Первой цифрой четырехзначного числа вида * 74 * может быть одна из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а последней 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - всего 90 возможных цифр. Перебирать эти числа по очереди и проверять, делится ли каждое из них на 18 возможный, но не самый рациональный способ решения.

Сформулируем признак делимости на 18, и с его учетом уже будем выбирать первую и последнюю цифры числа.

Очевидно, чтобы число делилось на 18, нужно, чтобы оно делилось на 2 и 9 (т. к. 18 = 2 * 9).

Признак делимости на 9 известен: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 2: число делится на 2, если оно заканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8.

Для числа, которое делится на 18 должны выполняться оба этих признака. Значит, число * 74 * должно заканчиваться на 0, 2, 4, 6 или 8, и сумма его цифр должна делиться на 9.

Найдем сумму уже известных цифр числа * 74*: 7 + 4 = 11.

Сумма первой и последней цифр

Ближайшие к 11 цифры, которые делятся на 9, это 18, 27 и 36.

Таким образом, сумма первой и последней цифр числа * 74 * должна быть равна:

18 - 11 = 7; 27 - 11 = 16; 36 - 11 = 25.

Наибольшая возможна сумма двух цифр 9 + 9 = 18, поэтому последний вариант, где сумма первой и последней цифр 25 не возможен.

Итак, мы выяснили, что сумма первой и последней цифр либо 7, либо 16.

Запишем все возможные комбинации цифр, одна из которых делится на 2 и дающих в сумме 7: 7 и 0; 5 и 2; 3 и 4; 1 и 6.

Запишем все возможные комбинации цифр, одна из которых делится на 2 и дающих в сумме 16: 8 и 8.

Таким образом, существует всего 5 цифр, удовлетворяющих условиям задачи:

7740, 5742, 3744, 1746, 8748.

Ответ: 7740, 5742, 3744, 1746, 8748.