доказать что к^4-k^2 кратно 12 при всех натуральных к

k^4 - k^2 = (k^2) ^2 - k^2 = (k^2 - k) * (k^2 + k) = k * (k-1) * k * (k + 1).

В полученном произведении число k может быть четным или нечетным. Если оно четное, то k^2 делится на 4, если оно нечетное, то четными будут числа (k - 1) и (k + 1) и на 4 будет делиться их произведение.

Известно, что на три делиться каждое третье число в натуральной последовательности чисел. В произведении имеем последовательность трех чисел (множителей), идущих подряд: (k-1), k, (k+1). Одно из них будет делиться на 3. Если число можно разложить на множители, которые делятся на 3 и на 4, то это число делится на 12.