Найти все тройки целых чисел 1, m, n, для которых выполняется равенство l2+m2+n2 - 2l + 4m - 6n = - 11

Решение.

1. Выделим полные квадраты двучленов:

l² + m² + n² - 2l + 4m - 6n = - 11;

(l - 1) ² + (m + 2) ² + (n - 3) ² = 3.

2. Квадрат целого числа может принимать значения: 0; 1; 4; 9; и т. д., следовательно, единственным решением уравнения будет:

{ (l - 1) ² = 1

{ (m + 2) ² = 1

{ (n - 3) ² = 1

{l = 1 ± 1

{m = - 2 ± 1

{n = 3 ± 1

l1 = 0; l2 = 2;

m1 = - 3; m2 = - 1;

n1 = 2; n2 = 4.

Ответ:

(0; - 3; 2), (0; - 3; 4),

(0; - 1; 2), (0; - 1; 4),

(2; - 3; 2), (2; - 3; 4),

(2; - 1; 2), (2; - 1; 4).