Найти значение производной функции f (x) = X^4/2+3x^3+x+11 В точке X0=-2

Найдём производную данной функции: f (x) = (1 / 2) * x^4 + 3x^3 + x + 11.

Воспользовавшись формулами:

(x^n) ' = n * x^ (n-1) (производная основной элементарной функции).

(с) ' = 0, где с - const (производная основной элементарной функции).

(с * u) ' = с * u', где с - const (основное правило дифференцирования).

(u + v) ' = u' + v' (основное правило дифференцирования).

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

f (x) ' = ((1 / 2) * x^4 + 3x^3 + x + 11) ' = ((1 / 2) * x^4) ' + (3x^3) ' + (x) ' + (11) ' = (1 / 2) * 4 * x^ (4 - 1) + 3 * 3 * x^ (3 - 1) + x^ (1 - 1) + 0 = 2x^3 + 9x^2 + 1.

Вычислим значение производной в точке х0 = - 2:

f (x) ' (-2) = 2 * (-2) ^3 + 9 * (-2) ^2 + 1 = 2 * (-8) + 9 * 4 + 1 = - 16 + 36 + 1 = 21.

Ответ: f (x) ' = 2x^3 + 9x^2 + 1, a f (x) ' (-2) = 21.