Сколько можно нарисовать квадратов, одна из вершин которых лежит в точке (1; 1) координатной плоскости, для каждого из которых хотя бы одна из координатных осей является осью симметрии?

Перед решением задачи необходимо нарисовать координатную прямую, отметить точку - вершину квадрата.

Осевая симметрия - это когда половина фигуры отражена (как в зеркале) относительно определенной прямой - оси симметрии. В данном случае осями симметрии будут служить оси координат х и у.

Координата вершины квадрата (1; 1), назовем ее точкой А.

Найдем координату второй вершины квадрата

Сначала возьмем за ось симметрии ось у (вертикальную ось).

Вершина, симметричная точке А (1; 1) будет лежать слева от оси у на такой же высоте. Значит, координата второй вершины В (-1; 1). То есть АВ - это сторона квадрата, АВ равна длине двух единичных отрезков.

Квадрат может располагаться вверх или вниз от стороны АВ. В первом случае (квадрат расположен вверх) координаты двух оставшихся вершин будут С (-1; 3) и Д (1; 3). Число три получилось при сложении координаты у = 1 и длины стороны квадрата. Во втором случае (квадрат расположен вниз) координаты вершин будут С (-1; - 1) и Д (1; - 1).

Получилось два квадрата.

Но квадрат может располагаться другим способом, то есть вершина А (1; 1), а вершина (-1; 1) будет не В, а С, то есть АС - это не сторона квадрата, а его диагональ. Тогда координаты вершин будут В (2; 0) и Д (0; 0).

Получился еще один квадрат.

Пусть осью симметрии теперь будет ось х

Найдем вторую вершину квадрата, симметричную А (1; 1). Она будет расположена ниже на 2 единичных отрезка (1 отрезок до оси х и еще один от оси х). Координата второй вершины будет В (1; - 1).

Квадрат может располагаться слева от отрезка АВ, а может располагаться справа от АВ.

Если квадрат слева от АВ, то координаты вершины будут в точкам С (-1; - 1) и Д (-1; 1). Этот квадрат мы уже считали.

Если квадрат расположен справа от АВ, то координаты вершин будут равны С (3; - 1) и Д (3; 1).

Получился один квадрат.

А если отрезок от А (1; 1) до точки (1; - 1) - это диагональ, то есть точка С имеет координаты (1; - 1), то координаты двух других вершин будут В (0; 0) и Д (3; 0).

Еще один квадрат.

Получилось всего пять квадратов.