Решите уравнение в целых числах: 2x-3y=5

Решим уравнение 2 х - 3 у = 5 в целых числах.

Найдем сначала какое-нибудь конкретное решение. Так как 2 • 1 - 3 • ( - 1) = 5, следовательно, x0 = 1, y0 = - 1 - это решение нашего уравнения (одно из многих, не более!). Итак,

2 х - 3 у = 5 и 2 х0 - 3 у0 = 5.

Вычтем одно уравнение из другого, обозначим x - x0 и y - y0 через a и b, и получим 2a - 3b = 0. Отсюда мы видим, что b делится на 2, а a - на 3. Положим a = 3k, тогда b = 2k - здесь k, очевидно, может быть любым целым числом.

Итак, мы получаем набор решений:

х - х0 = 3k;

у - у0 = 2k.

то есть,

х = 1 + 3k;

у = - 1 + 2k, где k может быть любым целым числом. Других решений, конечно, нет.