Решите уравнение cos^2 х-1/2sin2x+cosx=sinx. Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [ / 2; 2]

cos² (x) - 0,5 * sin (2x) + cos (x) = sin (x);

cos² (x) - 0,5 * 2 * sin (x) * cos (x) + cos (x) - sin (x) = 0;

cos² (x) + cos (x) - (sin (x) * cos (x) - sin (x)) = 0;

cos (x) * (cos (x) + 1) - sin (x) * (cos (x) + 1) = 0;

(cos (x) + 1) * (cos (x) - sin (x)) = 0;

Это равносильно совокупности:

cos (x) + 1 = 0; (1)

cos (x) - sin (x) = 0; (2)

Решим (1):

cos (x) = - 1;

x = п + 2 пn, где n - целое число.

Решим (2):

cos (x) - sin (x) = 0;

cos (x) 0 (иначе sin (x) = 0, а это противоречит основному тригонометрическому тождеству), поэтому разделим обе части уравнения на cos (x):

1 - tg (x) = 0;

tg (x) = 1;

x = п/4 + пn, где n - целое число.

Таким образом, уравнение имеет корни: x = п + 2 пn и x = п/4 + пn, где n - целое число.

Ответ: x = п + 2 пn и x = п/4 + пn, где n - целое число.

Рассмотрим промежуток [п/2; 2 п]:

Из корней x = п + 2 пn ему принадлежит корень x = п.

Из корней x = п/4 + пn ему принадлежит корень 5 п/4.

Ответ: п, 5 п/4.