1) cos 2x + cos 4x + cos (п - 3x) = 0; 2) sin 5x + sin 2x + sin 3x + sin 4x = 0; 3) cos 5x + cos 2x + cos 3x + cos 4x + 0; 4) 3 sin^{2} x - cos^{2} x = 0; 5) 3 sin^{2} x + 4 cos^{2} x - 13 sin x * cos x + 0; 6) sin^{2} x - 2 sin x * cos x = 3 cos x^{2}; 7) 3 cos^{2} x = 4 sin x * cos x - sin^{2} x; 8) 2 sin^{2}x - 3 sin x + 1 = 0; 9) 2 sin^{2}x - 3 sin x - 1 = 0; 10) 2 cos^{2}x - cos x - 1 = 0; 11) 6 tg^{2}x - tg x - 1 = 0;

1) cos 2x + cos4x + cos (п - 3x) = 0. Используем формулу приведения: cos (п - 3x) = 0 и формулу преобразования суммы косинусов в произведение:

cos2x + cos4x + cos (п - 3x) = cos 2x + cos4x - cos3x) = 2cos 3x * cosx - cos3x = cos3x (2cosx - 1) = 0.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, поэтому:

a) cos3x = 0; 3x = π/2 + πn → x = π/6 + π/3n; или

b) 2cosx - 1 = 0 → cosx = 1/2 → x = ± π/3 + 2πn.

2) Сгруппируем и используем формулу sin a + sin b = 2 * sin (a + b) / 2 * cos (a - b) / 2:

(sin5x + sin2x) + (sin3x + sin4x) = 2 * sin7x/2 * cos3x/2 + 2 * sin7x/2 * cosx/2 =

= 2sin7x/2 * (cos3x/2 + cosx/2) = 0.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, поэтому:

a) sin7x/2 = 0; 7x/2 = πn → x = 2πn/7; n∈Z;

b) cos3x/2 + cosx/2) = 0 → 2cosx * cosx/2 = 0.

cosx = 0 → x = π/2 + πn, n∈Z;

cosx/2 = 0 → x/2 = π/2 + πn, n∈Z → x = π + 2πn, n∈Z.