1) Корни уравнения x^2+16x+a=0 относятся как 4:3. Найдите значение a и корни уравнения. 2) Найдите, не вычисляя значения дискримината, при каком значении a уравнение имеет единственный корень. Найдите эти корни. А) x^2+20x+a=0 Б) x^2+ax+25=0 3) При каком значении m корни уравнения x^2+mx-11=0 являются противоположными числами? Найдите эти корни.

Поскольку корни х₁ и х₂ уравнения x² + 16 * x + a = 0 относятся как 4 : 3, то х₁ : х₂ = 4 : 3 или, согласно основному свойству пропорции 3 * х₁ = 4 * х₂. По теореме Виета: х₁ + х₂ = - 16 и х₁ * х₂ = а. Имеем: х₂ = - 16 - х₁. Подставляя это выражение в 3 * х₁ = 4 * х₂, получим 3 * х₁ = 4 * (-16 - х₁) или 3 * х₁ = - 64 - 4 * х₁, откуда х₁ = - 64/7. Значит, х₂ = 3 * х₁ / 4 = 3 * (-64/7) / 4 = - 48/7. Следовательно, а = (-64/7) * (-48/7) = 3072/49. А) Имеем: x² + 20 * x + a = x² + 2 * x * 10 + 10² - 10² + a = (х + 10) ² + а - 100. Ясно, что при а = 100 данное уравнение x² + 20 * x + a = 0 имеет единственный корень: х = - 10. Б) Имеем: x² + a * x + 25 = x² + 2 * x * (а / 2) + (а / 2) ² - (а / 2) ² + 25 = (х + а / 2) ² + 25 - (а / 2) ². Ясно, что при а = 10 данное уравнение x² + а * x + 25 = 0 имеет единственный корень: х = а / 2 = - 10/2 = - 5. Применим квадратному уравнению x² + m * x - 11 = 0 теорему Виета: х₁ + х₂ = - m и х₁ * х₂ = - 11. Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называют противоположными числами. Значит, х₁ + х₂ = - m = 0, откуда х₂ = - х₁. Имеем: х₁ * (-х₁) = - 11 или (х₁) ² = 11. Следовательно, при m = 0 данное уравнение имеет корни х₁ = ±√ (11) и х₂ = ∓√ (11), являющиеся противоположными числами.