7 * 3^ (x+1) - 5^ (x+2) = 3^ (x+4) - 5^ (x+3)

Преобразуем данное уравнение, основываясь на свойствах степени с рациональным показателем. Получим:

21 * 3x - 25 * 5x = 81 * 3x - 125 * 5x,

125 * 5x - 25 * 5x = 81 * 3x - 21 * 3x,

100 * 5x = 60 * 3x.

Разделим обе части данного степенного уравнения на 20, получим:

5^{х + 1} = 3^{х + 1}.

Теперь разделим это уравнение на 3^{х + 1}, получим, основываясь на свойствах степени:

(5 / 3) ^{х + 1} = 1,

(5 / 3) ^{х + 1} = (5 / 3) 0.

Следовательно, х + 1 = 0, откуда получим единственный корень х = - 1.

Ответ: х = - 1.