При каких целых значениях n выражение 3n^2 - 7n + 17 / n + 4 являются натуральным числом?

1. Выделим целую часть дроби:

f (n) = (3n^2 - 7n + 17) / (n + 4); (1) f (n) = (3n^2 + 12n - 19n - 76 + 93) / (n + 4); f (n) = (3n (n + 4) - 19 (n + 4) + 93) / (n + 4); f (n) = 3n - 19 + 93 / (n + 4). (2)

2. Из уравнения (1) следует, что целые значения дроби получим, если знаменатель будет целым делителем числителя. А поскольку дискриминант трехчлена в уравнении (1) положителен, и числитель принимает только положительные значения, то f (n) будет натуральным числом при положительных значениях знаменателя.

3. Натуральные делители числа 93:

93 = 3 * 31; 1; 3; 31; 93.

1)

n + 4 = 1; n = - 3;

2)

n + 4 = 3; n = - 1;

3)

n + 4 = 31; n = 27;

4)

n + 4 = 93; n = 89.

Ответ: - 3; - 1; 27; 89.