Натуральные числа a и b таковы что a/b < 1 докажите что дробь 2a/a+b больше дроби a/b

Распишем a/b <1, то есть a a; (b - a) > 0 (1).

Требуется доказать справедливость выражения:

2a / (a+b) > a/b (2).

Так как a и b натуральные числа, то в дроби (2) перемножим крайние члены и средние, оставив знак неравенства без изменения.

2 * a * b > a * (a + b), 2 * a * b > a * b + a^2, a * b - a^2 > 0,

a * (b - a) > 0 (3), из (1) видно, что b > a, b - a > 0.

Теперь рассмотрим выражение (3):

a * (b - a) > 0, здесь a > 0, так как a и b натуральные числа, а

(b - a) > 0 следствие из выражения (1).

Значит, и произведение двух выражений тоже больше 0.

То есть мы доказали справедливость дроби (2).