4cos (4x-1) + 12sin^2 (4x-1) = 11

Используя следствие из основного тригонометрического тождества sin^2 (a) = 1 - cos^2 (a), получим уравнение:

4cos (4x - 1) + 12 (1 - cos^2 (4x - 1) = 11.

Произведем замену переменных t = cos (4x - 1):

4t + 12 (1 - t^2) = 11;

4t + 12 - 12t^2 = 11;

12t^2 - 4t - 1 = 0.

Корни квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0 определяются

по формуле: x12 = (-b + - √ (b^2 - 4 * a * c) / 2 * a.

t12 = (4 + - √ (16 - 4 * 12 * (-1)) / 12 * 2 = (4 + - 8) / 24;

t1 = (4 - 8) / 12 = - 1/3; t2 = (4 + 8) / 12 = 1.

x1 = arccos (-1/3) + - 2 * π * n;

x2 = arccos (1) + - 2 * π * n.