Sin2xsin4xsin6x=1/4sin4x

Сначала перенесем правую часть уравнения в левую сторону с противоположным знаком.

Sin 2x * sin 4x * sin 6x - 1/4 * sin 4x = 0.

Вынесем общий множитель за скобки.

Sin 4x * (sin 2x * sin 6x - 1/4) = 0.

Данное равенство выполнимо, когда Sin 4x = 0 и sin 2x * sin 6x - 1/4 = 0.

Решим первое уравнение.

1) Sin 4x = 0

Пусть 4 х = k, тогда sin k = 0.

Синус равен нулю при 0 при π, 2 π и т. д.

Можем записать так: sin k = 0 при k = π*N, где N - любые целые числа из множества (-∞; + ∞).

Тогда x = k/4 = π*N/4.

2) Теперь рассмотрим 2 е уравнение: sin 2x * sin 6x - 1/4 = 0.

Воспользуемся формулой синуса суммы 2 х углов.

sin 6x = sin (2x + 4x) = sin 2x * cos 4x + sin 4x * cos 2x.

Снова применим формулу синуса суммы 2 х углов и косинуса суммы 2 х углов.

sin 4x = sin (2x + 2x) = sin 2x * cos 2x + sin 2x * cos 2x = 2 * sin 2x * cos 2x.

cos 4x = cos 2x * cos 2x - sin 2x * sin 2x = cos² 2x - sin² 2x.

Подставим в уравнение и получим:

sin 2x * (sin 2x * (cos² 2x - sin² 2x) + 2 * sin 2x * cos 2x * cos 2x) - 1/4 = 0.

Вынесем за скобки общий множитель sin 2x.

sin² 2x * (cos² 2x - sin² 2x + 2 * cos² 2x) - 1/4 = 0.

sin² 2x * (3 * cos² 2x - sin² 2x) - 1/4 = 0.

Зная формулу sin² 2x + cos² 2x = 1, косинус через синус и получим: cos² 2x = 1 - sin² 2x.

sin² 2x * (3 * (1 - sin² 2x) - sin² 2x) - 1/4 = 0.

sin² 2x * (3 - 4 * sin² 2x) - 1/4 = 0.

Пусть sin² 2x = t.

t * (3 - t) - 1/4 = 0.

3t - t² - 1/4 = 0.

Решим уравнение.

- t² + 3t - 1/4 = 0.

Найдем дискриминант: D = 3² - 4 * (-1) * (-1/4) = 9 - 1 = 8.

t₁ = (-3 + √D) / (2 * (-1)) = (-3 + 2√2) / (-2) = 1.5 - √2.

t₂ = (-3 - √D) / (2 * (-1)) = (-3 - 2√2) / (-2) = 1.5 + √2.

sin² 2x = 1.5 - √2 и sin² 2x = 1.5 + √2.

sin 2x = (1.5 - √2) ^1/2 и sin 2x = (1.5 + √2.) ^1/2.

X₁ = 0.5 * arcsin (1.5 - √2) ^1/2 и X₂ = 0.5 * arcsin (1.5 + √2) ^1/2.

Ответ: x₁ = π*N/4, x₂ = 0.5 * arcsin (1.5 - √2) ^1/2 и x₃ = 0.5 * arcsin (1.5 + √2) ^1/2.