Найдите длину окружности, если площадь вписанного в неё правильного шестиугольника равна 72√3 См в кубе (3) Решение.

1. По условию задачи известно, что площадь S вписанного правильного шестиугольника

равна 72√3 см².

2. Соединим все вершины шестиугольника с центром окружности: получили 6 равносторонних треугольника, длина стороны которого равна радиусу R описанной окружности.

Значит площадь каждого треугольника s = 1/6 S = 72√3 : 6 = 12√3 см², а по формуле

s = 1/2 основания на высоту = 1/2 * R * h.

Значение h вычислим как катет прямоугольного треугольника с углом 30°:

h : R/2 = ctg 30°, откуда h = R/2 * ctg30° = R/2 * √3.

Приравняем два значения s:

12√3 = R/2 * R/2 * √3, то есть 12√3 = R²/4 * √3, откуда R²/4 = 12, значит

R = √12 * 4 = √48 = 4√3 см.

3. Длина окружности L = 2 * П * 4 * √3 = 25 √3 см.

Ответ: L = 25 √3 см.