Общая хорда двух пересекающихся окружностей служит для одной из них стороной правильного вписанного четырехугольник, а для другой стороной правильного вписанного шестиугольника. Найдите расстояние между центрами окружностей, если радиус меньшей окружности равен 10 см?

Очевидно, меньшей из двух данных окружностей является та, хорда которой является стороной правильного многоугольника с меньшим числом углов.

Таким образом, меньшая окружность та, в которую вписан правильный четырехугольник (квадрат).

Радиус окружности R, описанной вокруг квадрата, и сторона квадрата а связаны формулой:

R = а / (√2).

Следовательно, длина стороны квадрата:

а = √2 * R = 10√2 (см).

Так как хорда является также стороной шестиугольника, то длина стороны шестиугольника также 10√2 см.

Радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, равен длине стороны этого шестиугольника.

Расстояние между центрами окружностей есть длина отрезка, соединяющего их центры.

Этот отрезок является стороной треугольника, две другие стороны которого радиусы этих окружностей (10 см и 10√2 см) и угол между этими сторонами равен сумме половин углов внутреннего для шестиугольника и внутреннего для квадрата (120°/2 + 90°/2 = 105°).

Для вычисления расстояния между центрами окружностей воспользуемся формулой нахождения третьей стороны треугольника по двум сторонам и углу между ними:

√ (10^2 + (10√2) ^2 - 2 * 10 * 10√2 * cos 105°) = √ (100 + 200 +

+ 100√2 * (√3 - 1) / (2√2)) = √ (300 + 50√3 - 50) = √ (250 +

+ 50√3) = 5√ (10 + 2√3) (см).

Ответ: 5√ (10 + 2√3) см.