В 2015 году Артему исполнится столько лет, что его возраст будет равен сумме цифр его года рождения. В каком году родился Артем? Найдите все варианты.

По условию задачи:

a + b + c + d = 2015 - (1000a + 100b + 10c + d);

Где a, b, c, d целые числа от 0 до 9.

1001 а + 101b + 11c + 2d = 2015.

Равенство может быть верным лишь при а = 1 или при а = 2.

Допустим, а = 1:

1001 + 101b + 11c + 2d = 2015;

101b + 11c + 2d = 1014;

Так о речь идет о возрасте человека, справедливо предположить что b = 9:

909 + 11c + 2d = 1014;

11c + 2d = 105;

11c = 105 - 2d;

Правая часть уравнения должна быть кратной 11, и тут подходит лишь число 99 с учетом ограничения d целое число от 0 до 9.

с = 9, d = 3.

Составим год рождения из полученных цифр: 1993.

Теперь а = 2:

2002 + 101b + 11c + 2d = 2015;

101b + 11c + 2d = 13;

Равенство верно лишь при b = 0:

11 с + 2d = 13;

с = 1, d = 1.

Составим год рождения из полученных цифр: 2011.

Ответ: 1993, 2011.

Обозначим год рождения Артема

Примем за аксиому, что до 2015 года теоретически может дожить человек, рожденный не ранее 19* * годов (то есть года меньше 1900 расстраивать не имеет смысла).

В то же время, праздновать День рождения в 2015 году Артем может и в том случае, если год его рождения больше и равен 2000.

Таким образом, существует лишь 2 варианта первых двух цифр года рождения Артема - либо 1 и 9, либо 2 и 0

Оставшиеся 2 цифры обозначим а и b, то есть возможный год рождения будет 19ab или 20 ab.

Исходя из специфики задачи, сформулируем требования к числам а и b:

положительные (а > = 0 и b > = 0); целые; не больше 9 (а < = 9 и b < = 9). Найдем возраст Артема в 2015 году

Год рождения Артема либо 1900 + 10 а + b, либо 2000 + 10 а + b, а сумма цифр года его рождения либо 1 + 9 + а + b, либо 2 + 0 + а + b соответственно.

Известно, что в 2015 году возраст Артема (2015 - год рождения) будет равен сумме цифр года его рождения. Составим уравнение:

2015 - (1900 + 10 а + b) = 1 + 9 + а + b

или

2015 - (2000 + 10 а + b) = 2 + 0 + а + b

Если год рождения 19**

2015 - (1900 + 10 а + b) = 1 + 9 + а + b

2015 - 1900 - 10 а - b = 10 + а + b

115 - 10 = 11 а + 2b

2b = 105 - 11a

b = (105 - 11a) / 2

Мы знаем, что 0 < = b < = 9. Решим неравенство:

0 < = (105 - 11a) / 2 < = 9

0 < = 105 - 11a < = 18

-105 < = - 11a < = 18 - 105

-105 / - 11 = > a = > - 87 / - 11

9,5 = > a = > 7,8

Так как a целое число, в обозначенном промежутке а = 8 или а = 9

Если а = 8, то b = (105 - 11a) / 2 = (105 - 88) / 2 = 8,5 - этого не моет быть, так как b - число целое

Если а = 9, то b = (105 - 11a) / 2 = (105 - 99) / 2 = 3.

Год рождения Артема 1993.

Проверим: в 2015 году Артему будет 2015 - 1993 = 22; сумма цифр года рождения 1 + 9 + 9 + 3 = 22.

Если год рождения 20**

2015 - (2000 + 10 а + b) = 2 + 0 + а + b

2015 - 2000 - 10 а - b = 2 + а + b

15 - 2 = 11a + 2b

2b = 13 - 11 а

b = (13 - 11 а) / 2

Мы знаем, что 0 < = b < = 9. Решим неравенство:

0 < = (13 - 11a) / 2 < = 9

0 < = 13 - 11a < = 18

-13 < = - 11a < = 18 - 13

-13 / - 11 = > a = > 5 / - 11

1,18 = > a = > - 0,45

Так как a целое число, в обозначенном промежутке а = 1 или а = 0

Если а = 1, то b = (105 - 11a) / 2 = (105 - 11) / 2 = 47

Если а = 0, то b = (105 - 11a) / 2 = (105 - 0) / 2 = 52,5

Оба варианта нас не устраивают, так как b должно быть не больше 9.

Ответ: Артем родился в 1993 году