Сократите дробьx^3+4x^2-9x-36/x^2+x-12

а) В числителе дроби x3 + 4x2 - 9x - 36 проведем группировку и вынесем общие множители за скобки:

(x3 + 4x2) - (9x + 36) = x2 (x + 4) - 9 (x + 4) = (x + 4) (x2 - 9), применим формулы сокращенного умножения, в частности разность квадратов.

(x + 4) (x2 - 9) = (x + 4) (x - 3) (x + 3).

Перейдем к знаменателю дроби:

x3 + 2x2 - 11x - 12 = (x3 + x2) + (x2 - 11x - 12) = x2 (x + 1) + (x2 - 11x - 12);

Находим корни квадратного уравнения (x2 - 11x - 12 = 0), используя теорему Виета;

x1 + x2 = 12; x1 * x2 = - 11, x1 = 12, x2 = - 1.

Теперь знаменатель дроби примет вид:

x2 (x + 1) + (x2 - 11x - 12) = x2 (x + 1) + (x - 12) * (x + 1) = (x + 1) * (x2 + x - 12) = (x2 + x - 12, еще раз использовали теорему Виета), = (x + 1) * (x - 3) * (x + 4).

Видим что и числитель и знаменатель дроби имеют одинаковые множители (x - 3) * (x + 4), сокращаем на эти множители и имеем: (x + 3) / (x - 1).

б) При Х = 3 значение дроби равно 6 / 4 = 1,5