Решить уравнение (х^2+х) ^2 + [х^2+х]-2=0

Решаем уравнение (х^2 + х) ^2 + |х^2 + х| - 2 = 0.

Составим алгоритм решения уравнения введем замену, обозначив за переменную t выражение с модулем; решим полученное полное квадратное уравнения; вернемся к замене и вспомним определения модуля; найдем корни уравнения, решив полное квадратное уравнение. Вводим замену и решаем полное квадратное уравнение

Итак, давайте обозначим на переменную t = |x^2 + x|, тогда мы получим полное квадратное уравнение:

t^2 + t - 2 = 0;

Решаем его с помощью нахождения дискриминанта.

D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 * 1 * ( - 2) = 1 + 8 = 9;

Для нахождения корней нам понадобится значения √D = √9 = √3^2 = 3.

Находим корни используя формулы:

x1 = ( - b + √D) / 2a = ( - 1 + 3) / 2 = 2/2 = 1;

x2 = ( - b - √D) / 2a = ( - 1 - 3) / 2 = - 4/2 = - 2.

Возвращаемся к замене и находим корни уравнения

Теперь мы можем вернутся к замене.

Получим два уравнения с модулем |x^2 + x| = 1 и |x^2 + x| = - 2.

Вспомним определение модуля.

Модулем (абсолютной величиной) числа называется расстояние от начала координат до этой точки. Если число неотрицательное, то модуль его равен самому числу, если число отрицательное, то его модуль равен противоположному числу, то есть |x| = x, если х ≥ 0; - х, если х < 0.

Делаем вывод, что второе уравнение не имеет смысла, так как модуль не может быть отрицательным числом.

Чтобы найти решения первого уравнения решим два уравнения:

x^2 + x = 1, если x^2 + x ≥ 0 и x^2 + x = - 1, если х < 0.

1) x^2 + x - 1 = 0;

D = b^2 - 4ac = 1 - 4 * 1 * ( - 1) = 1 + 4 = 5;

x1 = ( - b + √D) / 2a = ( - 1 + √5) / 2;

x2 = ( - b - √D) / 2a = ( - 1 - √5) / 2.

х принадлежит объединению промежутков ( - бесконечность; - 1] и [0; + бесконечность).

Корни удовлетворяют наложенным на них условиям.

2) x^2 + x + 1 = 0;

D = b^2 - 4ac = 1 - 4 = - 3 нет корней.

Ответ: х = ( - 1 + √5) / 2 и х = ( - 1 - √5) / 2.

Произведем подстановку х2 + х = t, получим:

t2 + t - 2 = 0.

D = 12 - 4 * 1 * ( - 2) = 1 + 8 = 9;

√D = 3;

t1 = ( - 1 - 3) / (2 * 1) = - 4 / 2 = - 2;

t2 = ( - 1 + 3) / (2 * 1) = 2 / 2 = 1.

1) х2 + х = - 2;

х2 + х + 2 = 0;

D = 12 - 4 * 1 * 2 = 1 - 8 = - 7.

Дискриминант отрицательный, следовательно корней нет.

2) х2 + х = 1;

х2 + х - 1 = 0;

D = 12 - 4 * 1 * ( - 1) = 1 + 4 = 5;

√D = √5;

x1 = ( - 1 - √5) / 2 ≈ - 1,618;

x2 = ( - 1 + √5) / 2 ≈ 0,618.