Вычислите 1/1*2 + 1/2*3 + 1/3*4 + ... + 1/49*50

Покажем, что для любого целого положительного числа n выполняется следующее соотношение:

1 / (n * (n + 1)) = 1/n - 1 / (n + 1).

Преобразовывая правую часть данного соотношения, получаем:

1/n - 1 / (n + 1) = (n + 1) / (n * (n + 1)) - n / (n * (n + 1)) = (n + 1 - n) / (n * (n + 1)) = 1 / (n * (n + 1)).

Применяя данное соотношение к сумме 1/1*2 + 1/2*3 + 1/3*4 + ... + 1/48*49 + 1/49*50, получаем:

1/1*2 + 1/2*3 + 1/3*4 + ... + 1/48*49 + 1/49*50 = 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/48 - 1/49 + 1/49 - 1/50 = 1 - 1/50 = 49/50.

Ответ: 1/1*2 + 1/2*3 + 1/3*4 + ... + 1/49*50 = 49/50.