Кассир продал все билеты в первый ряд кинотеатра, причем по ошибке на одно из мест было продано два билета. Сумма номеров мест на всех этих билетах равна 857. На какое место продано два билета? Варианты ответов: А. На 41 - е; Б. На 40 - е; В. На 38 - е; Г. На 37 - е.

Обозначим через n - число мест в первом ряду кинотеатра (где n - натуральное число). Если бы кассир продал все билеты в первый ряд кинотеатра без ошибок, то сумма номеров мест была бы равна ((n + 1) * n) / 2 (как сумма первых n членов арифметической прогрессии с первым членом 1 и шагом 1). Обозначим через d - номер билета-двойника (где d - натуральное число). Сначала определим n. По условию задания ((n + 1) * n) / 2 < 857. Необходимо найти наибольшее натуральное n, удовлетворяющее этому неравенству. Последнее неравенство приведём к виду n² + n - 1714 < 0. Это неравенство имеет решение - ((√ (6857) + 1) / 2) < n < ((√ (6857) - 1) / 2). Поскольку, 82² = 6724 < 6857 < 6889 = 83², то преобразуем оценку n сверху следующим образом: n < ((√ (6857) - 1) / 2) < ((√ (6889) - 1) / 2) = (43 - 1) / 2 = 41. Значит, n < 41. Следовательно, n = 40. Тогда, по условию задания, d + ((40 + 1) * 40) / 2 = 857. Найдём d = 857 - ((40 + 1) * 40) / 2 = 857 - 41 * 40 / 2 = 857 - 820 = 37. Значит, кассир продал два билета на 37-е место.

Ответ: Г. На 37 - е.