За январь, февраль, март, зарплата составила в сумме 15.900 рублей, а за апрель, май, июнь - 18.600 рублей, при этом в течение календарного года она ежемесячно увеличивалась на одну и ту же величину. Определите зарплату за сентябрь. Решить с помощью арифметической прогрессии.

Обозначим через а1 зарплату за январь, а через d - величину, на которую ежемесячно увеличивалась зарплата.

Тогда значения зарплаты за каждый месяц составляют арифметическую прогрессию аn с первым членом а1 и разностью d.

Согласно условию задачи, за январь, февраль, март, зарплата составила в сумме 15900 рублей.

Используя формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии Sn = (2 * a1 + d * (n - 1)) * n / 2 при n = 3, получаем:

(2 * a1 + d * (3 - 1)) * 3 / 2 = 15900.

Упрощая полученное соотношение, получаем:

(2 * a1 + d * 2) * 3 / 2 = 15900;

2 * (a1 + d) * 3 / 2 = 15900;

(a1 + d) * 3 = 15900;

a1 + d = 15900 / 3;

a1 + d = 5300.

Также известно, что за апрель, май и июнь зарплата составила в сумме 18600 рублей.

Поскольку сумма членов арифметической прогрессии с четвертого по шестой равна разности суммы первых 6-ти членов этой прогрессии и суммы первых 3-х членов этой прогрессии, можем записать:

S6 - S3 = 18600.

Используя формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии Sn = (2 * a1 + d * (n - 1)) * n / 2 при n = 6, а также тот факт S3 = 15900, получаем

(2 * a1 + d * (6 - 1)) * 6 / 2 - 15900 = 18600.

Упрощая полученное соотношение, получаем:

(2 * a1 + d * 5) * 3 - 15900 = 18600;

(2 * a1 + d * 5) * 3 = 15900 + 18600;

(2 * a1 + d * 5) * 3 = 34500;

2 * a1 + d * 5 = 34500 / 3;

2 * a1 + d * 5 = 11500.

Таким образом, мы получили систему уравнений:

a1 + d = 5300;

2 * a1 + d * 5 = 11500.

Подставляя во второе уравнение значение d = 5300 - а1 из первого уравнения, получаем:

2 * a1 + (5300 - а1) * 5 = 11500;

2 * a1 + 26500 - 5 * а1 = 11500;

26500 - 3 * а1 = 11500;

3 * а1 = 26500 - 11500;

3 * а1 = 15000;

а1 = 15000 / 3;

а1 = 5000.

Зная а1, находим d:

d = 5300 - а1 = 5300 - 5000 = 300.

Зная а1 и d, используя формулу n-го члена арифметической прогрессии аn = a1 + (n - 1) * d при n = 9, находим зарплату за девятый месяц сентябрь:

а9 = 5000 + (9 - 1) * 300 = 5000 + 8 * 300 = 5000 + 2400 = 7400.

Ответ: зарплата за сентябрь составила 7400 рублей.