Найти наибольшее значение выражения x / (4+x^2) при х>0

Рассмотрим функцию y = x / (4 + x²). Прежде чем найти множество значений данной функции, сначала определим область допустимых значений аргумента х. Заметим, что данная функция представлена в виде дроби. Поскольку в составе формулы данной функции имеется арифметическая операция деления, то для того, чтобы можно было выполнить операцию деления должно выполняться условие 4 + x² ≠ 0. Решим это неравенство. С этой целью составим уравнение x² + 4 = 0 и решим его. Поскольку для всех х ∈ (-∞; + ∞) справедливо x² ≥ 0, то x² + 4 ≥ 4 > 0. Таким образом, выяснили, что областью допустимых значений аргумента х является множество (-∞; + ∞). Применим дифференциальное исчисление и найдём производную данной функции и далее приравнивая её к нулю определим, что критической точкой является точка х = 2. В этой точке данная функция принимает максимальное значение, равное 2 / (4 + 2²) = ¼.

Ответ: ¼.