Найти наименьшее значение выражения х^2+y^2-6x+8x

1. Рассмотрим данное выражение как функцию от двух переменных и выделим полные квадраты двучленов:

f (x, y) = х^2 + y^2 - 6x + 8y; f (x, y) = х^2 - 6x + 9 + y^2 + 8y + 16 - 9 - 16; f (x, y) = (х - 3) ^2 + (y + 4) ^2 - 25.

2. Сумма квадратов двух выражений неотрицательна, причем нулевое значение достигается, когда сами выражения равны нулю:

{x - 3 = 0;

{y + 4 = 0; {x = 3;

{y = - 4.

Наименьшее значение функции будет при x = 3 и y = - 4:

fmin (x, y) = (3 - 3) ^2 + (-4 + 4) ^2 - 25; fmin (x, y) = 0^2 + 0^2 - 25 = - 25.

Ответ. - 25.