Решите неравенство f (IxI) меньше или равен 0, если известно, что f (x) = (√3+√6 - 3x) : (x^6 - 9x^3+8).

Если f (x) = (√3 + √6 - 3x) / (x^6 - 9x^3 + 8), то f (|x|) = (√3 + √6 - 3|x|) / (|x|^6 - 9|x|^3 + 8).

Так как f (|x|) < = 0, то получается неравенство (√3 + √6 - 3|x|) / (|x|^6 - 9|x|^3 + 8) < = 0.

Модуль меняет знак при х = 0.

1) х > 0, раскрываем модули со знаком (+):

(√3 + √6 - 3x) / (x^6 - 9x^3 + 8) < = 0.

Решим неравенство методом интервалов.

Находим корни неравенства:

√3 + √6 - 3x = 0; 3 х = √3 + √6; х₁ = (√3 + √6) / 3 (~1,1).

x^6 - 9x^3 + 8 = 0. Пусть x^3 = а. Получается уравнение а^2 - 9 а + 8 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 1; b = - 9; c = 8;

D = b^2 - 4ac; D = (-9) ^2 - 4 * 1 * 8 = 81 - 32 = 49 (√D = 7);

x = (-b ± √D) / 2a;

а₁ = (9 - 7) / 2 = 1;

а₂ = (9 + 7) / 2 = 8.

Так как x^3 = а, то x^3 = 1; х₂ = 1;

и x^3 = 8; х₃ = 2.

Ставим точки на прямой, обозначаем дугами интервалы, расставляем знаки каждого интервала: (-) 1 (+) (√3 + √6) / 3 (-) 2 (+).

Так как знак неравенства < = 0, то решением неравенства будут промежутки (-∞; 1] и [ (√3 + √6) / 3; 2].

2) х < 0, раскрываем модули со знаком (-).

(√3 + √6 + 3x) / (x^6 + 9x^3 + 8) < = 0.

Находим корни неравенства:

√3 + √6 + 3x = 0; х₁ = - (√3 + √6) / 3.

x^6 + 9x^3 + 8 = 0; пусть x^3 = а, а^2 + 9 + 8 = 0.

D = 9^2 - 4 * 8 = 81 - 32 = 49 (√D = 7);

а₁ = (-9 - 7) / 2 = - 8;

а₂ = (-9 + 7) / 2 = - 1.

Так как x^3 = а, то x^3 = - 8; х₂ = - 2;

и x^3 = - 1; х₃ = - 1.

Ставим точки на прямой, обозначаем дугами интервалы, расставляем знаки каждого интервала: (-) - 2 (+) - (√3 + √6) / 3 (-) - 1 (+).

Так как знак неравенства < = 0, то решением неравенства будут промежутки (-∞; - 2] и [ - (√3 + √6) / 3; - 1].

Ответ: х принадлежит промежуткам (-∞; - 2], [ - (√3 + √6) / 3; - 1], (-∞; 1] и [ (√3 + √6) / 3; 2].