Сколько корней уравнения tgx - tg2x = sinx принадлежит отрезку от 0 до 2 Пи (можно полностью решение с обьяснением)

Преобразуем в левую часть уравнения.

tg x - tg 2x = tg x - 2tg x / (1 - tg² x) = (tg x - tg³ x - 2tg x) / (1 - tg²x) =

= ( - tg³ x - tg x) / (1 - tg² x) = - tg x * (1 + tg² x) / (1 - tg² x).

Заменим tg x = Sin x/Cos x, получим:

-tg x / (2Cos² x - 1) = Sin x.

Разделим обе части уравнения на Sin x и перенесем все члены влево,

2Cos² x - Cos x - 1 = 0, Сделаем замену переменной y = cosx.

Получим следующее уравнение: 2y² - y - 1 = 0. Решим это уравнение: y_1,2 = (1 ± √ (1 + 8)) / 4,

y₁ = (1 - 3) / 4 = - 1/2, y₂ = (1 + 3) / 4 = 1.

На данном отрезке подходит корень y = 1.

Cos x = 1, x = π + 2πk, k∈Z.

Ответ: Отрезку [0; 2π] принадлежат два корня: х = 0 и х = π.