Решите уравнение: cos4x + 2sin4x = 1

cos4x + 2sin4x = 1.

Преобразуем выражение:

cos (2 * 2x) + 2sin (2 * 2x) - 1 = 0.

Распишем выражение по формулам синуса и косинуча двойного угла, а единицу как сумму квадратов синуса и косинуса.

cos^2 (2x) - sin^2 (2x) + 4sin (2x) cos (2x) - (cos^2 (2x) + sin^2 (2x)) = 0;

cos^2 (2x) - sin^2 (2x) + 4sin (2x) cos (2x) - cos^2 (2x) - sin^2 (2x) = 0;

-2sin^2 (2x) + 4sin (2x) cos (2x) = 0;

умножим на (-1):

2sin^2 (2x) - 4sin (2x) cos (2x) = 0.

Поделим уравнение на cos^2 (2x), ОДЗ: cos (2x) не равен 0, 2 х не равно П/2 + Пn, х не равно П/4 + П/2n, n - целое число.

2tg^2 (2x) - 4tg (2x) = 0;

выносим 2tg (2x) за скобку:

2tg (2x) (tg (2x) - 2) = 0.

Отсюда:

1) 2tg (2x) = 0; tg (2x) = 0; 2 х = П + Пn, х = П/2 + П/2n, n - целое число.

2) tg (2x) - 2 = 0; tg (2x) = 2; 2 х = arctg2 + Пn, х = 1/2 * arctg2 + П/2n, n - целое число.